Nombre dérivé et tangente

Soit \(f\) une fonction définie sur \(R\) et de représentation graphique `C_f`.
Soit \(A\) le point de coordonnées \(A(a;f(a))\).
Soit \((T)\) la droite tangente à la courbe \(C_f\) au point d'abscisse \(A\).

Définition : on appelle nombre dérivé de la fonction \(f\) au point d'abscisse \(A\) le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de \(C_f\) de la fonction. On le note \(f'(a)\).

Formule : le coefficient directeur vaut :

\(\)\(\frac{\text{Différences des ordonnées}}{\text{Différences des abscisses}}=\frac{\Delta y } {\Delta x }\).

Exemple

• On considère la représentation graphique \(C_f\) de la fonction \(f\).
  
• On considère la droite \((T)\) tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(A(4;10)\).
  
• Le nombre dérivé au point d'abscisse 4 noté \(f'(4)\) est égal au coefficient directeur de la droite \((T)\).

Le coefficient directeur vaut : 

\(\)\(\frac{\text{Différences des ordonnées}}{\text{Différences des abscisses}}=\frac{\Delta y } {\Delta x }\)

\(\frac{\Delta y } {\Delta x }=\frac{(10-4)}{(4-(-2))}\)

\(\frac{\Delta y } {\Delta x }= \frac66\) 

\(\frac{\Delta y } {\Delta x }=1\)

\(f'(4) = 1\)